Question

求征：m為任意實數時，直線(m-1)x+(2m-1)y=m-5必過定點.

Answer 1

解析：分析1：由于m為任意實數，直線方程表示直線系，任取m的兩個值，可得直線系中的兩條直線，這兩條直線的交點即是直線系過的定點.

證明：取m=1時，直線方程為y=-4.        ①

取m=時，直線方程為x=9.              ②

顯然，直線①，②的交點為P(9，-4).

把點P的坐標代入原直線系方程的左端，得

(m-1)x+(2m-1)y=(m-1)·9-(2m-1)·4=m-5,

故不論m為何實數，點P(9，-4)總在直線系(m-1)x+(2m+1)y=m-5上.

即此直線過定點P(9，-4).

分析2：m為任意實數，則方程(m-1)x+(2m-1)y=m-5是對m而言的恒等式，根據恒等式定理，由m的一次項系數與常數項均等于零，就可得到直線系通過的定點坐標.

證明:將原方程按m的降冪排列，整理得

(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,

此式對于m的任意實數值都成立，根據恒等式的要求，m的一次項系數與常數項均等于零，故有

解得

∴m為任意實數時，所給直線必通過定點(9，-4).