Question

已知棱長(zhǎng)為1的正方體AC₁，E、F分別是B₁C₁、C₁D₁的中點(diǎn)．
（1）求證：E、F、D、B共面；
（2）求點(diǎn)A₁到平面的BDEF的距離；
（3）求直線A₁D與平面BDEF所成的角．

Answer 1

分析：（1）先證BD∥EF，通過(guò)EF，BD兩直線共面，得E、F、D、B共面；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BDEF的一個(gè)法向量，點(diǎn)A₁到平面的BDEF的距離即為

DA1

在法向量方向上投影的絕對(duì)值；
（3）直線A₁D與平面BDEF所成的角的θ正弦值等于h與A₁D長(zhǎng)度的比值．

解答：解：（1）∵EF∥D₁B₁，BD∥D₁B₁，∴BD∥EF，∴EF，BD兩直線共面，E、F、D、B共面
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則D（0，0，0）B（1，1，0）E（ 

1

2

，1，1）A₁（1，0，1）

DB

=（1，1，0），

DE

=（ 

1

2

，1，1）設(shè)平面BDEF的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z）
則

DB • n =0 DE • n =0

即

x+y=0 1 2 x+y+z=0

取x=2得量為

n

=（2，-2，1）

DA1

=（1，0，1）
點(diǎn)A₁到平面的BDEF的距離即為

DA1

在法向量方向上投影的絕對(duì)值即h=

| DA1 • n |

| n |

=

3

9

=1
（3）設(shè)直線A₁D與平面BDEF所成的角為θ，則sinθ=

h

| DA1 |

=

1 3

2

=

2

6

θ=arcsin

2

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面的基本性質(zhì)，線面角，點(diǎn)面距的計(jì)算，考查空間想象、計(jì)算能力．利用向量的數(shù)量積可減少思維難度．