Question

已知棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，直線BD與平面A₁BC₁所成角的余弦值為

 

．

Answer 1

分析：由已知中棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，我們以A點為坐標原點，以AB，AD，AA₁方向為X、Y、Z軸正方向建立空間坐標系，分別求出直線BD的方向向量及平面A₁BC₁的法向量，代入向量夾角公式即可求出直線BD與平面A₁BC₁所成角的余弦值．

解答：解：以A點為坐標原點，以AB，AD，AA₁方向為X、Y、Z軸正方向建立空間坐標系，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1
∴

BD

=（-1，1，0），平面A₁BC₁的一個法向量為

B1D

=（-1，1，-1）
∵cos＜

BD

，

B1D

＞=

BD • B1D

| BD |•| B1D |

=

6

3

設直線BD與平面A₁BC₁所成角為θ，
則cosθ=sin＜

BD

，

B1D

＞=

3

3

故答案為：

3

3

．

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，其中根據已知條件，建立空間坐標系，將線面夾角問題轉化為向量的夾角問題，是解答本題的關鍵．