Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C， D為OC的中點，直線AD交拋物線于點E（2，6），且△ABE與△ABC的面積之比為3∶2．

（1）求這條拋物線對應的函數關系式；

（2）連結BD，試判斷BD與AD的位置關系，并說明理由；

（3）連結BC交直線AD于點M，在直線AD上，是否存在這樣的點N（不與點M重合），使得以A、B、N為頂點的三角形與△ABM相似？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）根據△ABE與△ABC的面積之比為3∶2及E（2，6），可得C（0，4）.

∴D（0，2）. 由D（0，2）、E（2，6）可得直線AD所對應的函數關系式為y＝2x＋2.

當y＝0時，2x＋2＝0，解得x＝－1. ∴A（－1，0）.

由A（－1，0）、C（0，4）、E（2，6）求得拋物線對應的函數關系式為

y＝－x2＋3x＋4.

（2）BD⊥AD.

求得B（4，0），通過相似或勾股定理逆定理證得∠BDA＝90°，即BD⊥AD.

（3）法1：求得M（，），AM＝. 由△ANB∽△ABM，得＝，即AB2＝AM·AN，

∴52＝·AN，解得AN＝3.從而求得N（2，6）.

法2：由OB＝OC＝4及∠BOC＝90°得∠ABC＝45°.

由BD⊥AD及BD＝DE＝2得∠AEB＝45°.

∴△AEB∽△ABM，即點E符合條件，∴N（2，6）.

【解析】（1）根據△ABE與△ABC的面積之比為3∶2及E（2，6），可得C（0，4）.

∴D（0，2）. 由D（0，2）、E（2，6）根據待定系數法可得直線AD所對應的函數關系式為y＝2x＋2.

求得一次函數與x軸的交點坐標A（－1，0），由A（－1，0）、C（0，4）、E（2，6）根據待定系數法

求得拋物線對應的函數關系式為y＝－x2＋3x＋4.

求得B（4，0），通過相似或勾股定理逆定理證得∠BDA＝90°，即BD⊥AD.

由△ANB∽△ABM，根據對應邊成比例即可求得點N的坐標。