Question

【題目】已知橢圓的焦距等于,短軸與長軸的長度比等于.

（1）求橢圓的方程;

（2）設點在橢圓上,過作兩直線,分別交橢圓于另外兩點,當的傾斜角互為補角時,求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）因為橢圓的焦距等于,短軸與長軸的長度比等于,可得: ,即可求得答案;

（2）設,,由題條件知直線的斜率存在且互為相反數(shù),

設的斜率為,由（1）中的方程知,的方程為,即可求得和點到直線直線的距離的表達式,進而求得面積的最大值.

（1） 橢圓的焦距等于,短軸與長軸的長度比等于

得

解得,,

橢圓的方程為.

（2）設,,

由題條件知直線的斜率存在且互為相反數(shù),

設的斜率為,由（1）中的方程知,

的方程為.

由消掉

可得,

顯然是上述方程的一個根,

根據(jù)韋達定理可得:.

同理可得,

于是,,

,

.

可設直線的方程為,

則由,消掉

可得:

其中由,

得,且此時有

又 點到直線的距離,

根據(jù)兩點距離公式可得:,

,

(此時).