Question

設y=f（x）在[0，+∞）上有定義，對于給定的實數K，定義函數fK(x)=

f(x)，f(x)≤K K，f(x)＞K

，給出函數f（x）=2-x-x²，若對于任意x∈[0，+∞），恒有f_K（x）=f（x），則K的最小值為

2

；K的最大值為

無

．

Answer 1

分析：先根據新定義的函數，將所求解的問題轉化為求解恒成立問題，進而轉化為求函數的最值問題，利用二次函數的單調性求解函數的最值，進而求出k的范圍．

解答：解：由題意恒有f_K（x）=f（x），需k≥f（x）對于任意x∈[0，+∞）恒成立
即需k≥f（x）的最大值，
由于f（x）=2-x-x²=-（x+

1

2

）²+

9

4

故f（x）在[0，+∞）上為減函數
故函數f（x）的最大值為f（0）=2
故k≥2，故k有最小值2，但無最大值
故答案為 2，無

點評：本題考查學生對新定義型問題的理解和掌握程度，理解好新定義的分段函數是解決本題的關鍵，不等式恒成立問題的解法，轉化化歸的思想方法