Question

已知橢圓的右焦點F₂與拋物線的焦點重合，左端點為
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓C₁的右焦點且斜率為的直線l₂被橢圓C₁截得的弦AB，試求它的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線焦點可求得c值，由橢圓左端點可得a值，根據b²=a²-c²可得b值；
（2）由點斜式易求直線l₂的方程，把l₂的方程代入橢圓方程消掉y可得關于x的二次方程，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據韋達定理及弦長公式即可求得弦AB的長；
解答：解：（1）因為拋物線的焦點為（2，0），所以c=2，
又橢圓的左端點為（-，0），所以a=，
則b²=a²-c²=，
故所求橢圓方程為：；
（2）因為橢圓的右焦點F（2，0），所以l₂的方程為：y=（x-2），
代入橢圓C的方程，化簡得，5x²-18x+15=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韋達定理知，，x₁x₂=3，
從而|x₁-x₂|===，
由弦長公式，得|AB|===，
弦AB的長度為．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、橢圓方程的求解，考查方程思想，弦長公式、韋達定理是解決該類題目的基礎知識，要牢固掌握．