Question

已知橢圓的右焦點F₂與拋物線C₂：y²=4x的焦點重合，橢圓C₁與拋物線C₂在第一象限的交點為P，．圓C₃的圓心T是拋物線C₂上的動點，圓C₃與y軸交于M，N兩點，且|MN|=4．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）證明：無論點T運動到何處，圓C₃恒經過橢圓C₁上一定點．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線的方程，求出焦點坐標，然后求出橢圓的坐標，通過定義建立方程，化簡即可得到橢圓C₁的方程．
（2）設出點T的坐標，將拋物線方程代入圓的方程，得到一元二次方程，證明此方程恒成立即可．
解答：解：（1）：∵拋物線C₂：y²=4x的焦點坐標為（1，0），
∴點F₂的坐標為（1，0）．
∴橢圓C₁的左焦點F₁的坐標為F₁（-1，0），
拋物線C₂的準線方程為x=-1．
設點P的坐標為（x₁，y₁），
由拋物線的定義可知|PF₂|=x₁+1，
∵，
∴，解得．
由，且y₁＞0，得．
∴點P的坐標為．
在橢圓C₁：中，c=1.．
∴．
∴橢圓C₁的方程為．
（2）證明：設點T的坐標為（x，y），圓C₃的半徑為r，
∵圓C₃與y軸交于M，N兩點，且|MN|=4，
∴．
∴．
∴圓C₃的方程為（x-x）²+（y-y）²=4+x²．（*）
∵點T是拋物線C₂：y²=4x上的動點，
∴y²=4x（x≥0）．
∴．
把代入（*）
消去x整理得：．（**）
方程（**）對任意實數y恒成立，
∴
解得
∵點（2，0）在橢圓C₁：上，
∴無論點T運動到何處，圓C₃恒經過橢圓C₁上一定點（2，0）．
點評：本小題主要考查直線、圓、拋物線、橢圓等知識，考查數形結合、化歸與轉化、特殊與一般、函數與方程的數學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力和創新意識．