Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C_lD₁中，AB=AD=1，AA₁=2，M為BB₁上一點，N為CC₁上一點
（1）求三棱錐A₁-AMN的體積．
（2）當M是BB₁的中點時，求證D₁M⊥平面MAC．

Answer 1

分析：（1）由長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁知：CB⊥平面ABB₁A₁，故點N到平面ABB₁A₁的距離等于CB=1，由此能求出三棱錐A₁-AMN的體積．
（2）當M是BB₁的中點時，連接D₁M，D₁A，MA，則在△AMD₁中，D1M2+MA2=D1A2，由此能夠證明D₁M⊥平面MAC．

解答：解：（1）在長方體ABCD-A₁B₁C_lD₁中，AB=AD=1，AA₁=2，
由長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁知：
CB⊥平面ABB₁A₁，
∴點N到平面ABB₁A₁的距離等于CB=1，
∵S△MAA1=

1

2

AA1×AB=1，
∴三棱錐A₁-AMN的體積V A1-AMN=VN-MAA1=

1

3

×S△MAA1×CB=

1

3

．
（2）當M是BB₁的中點時，連接D₁M，D₁A，MA，
則在△AMD₁中，D₁M=

1+1+1

=

3

，D1A=

4+1

=

5

，MA=

1+1

=

2

，
∴D1M2+MA2=D1A2，
∴∠AMD₁=90°，∴D₁M⊥AM，
又∵AM∩CM=M，
∴D₁M⊥平面MAC．

點評：本題考查三棱錐體積的求法，考查直線與平面垂直的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意等積法和等價轉化思想的靈活運用．