Question

橢圓的兩焦點坐標分別為和，且橢圓過點．
（1）求橢圓方程；
（2）過點作不與y軸垂直的直線l交該橢圓于M、N兩點，A為橢圓的左頂點，試判斷∠MAN的大小是否為定值，并說明理由．

Answer 1

解：（1）設橢圓的方程為
∵焦點坐標為
∴a²=3+b²①
∵
∴
解得a²=4，b²=3
所以橢圓方程為
（2）設直線MN的方程為：，
聯立直線MN和曲線C的方程可得：
得：，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（-2，0），
則，
則
即可得，．
分析：（1）設出橢圓的方程，根據橢圓中三個參數的關系得到a，b的一個等式，再將橢圓過的點代入得到橢圓的另一個關于a，b的等式，解方程組，得到橢圓的方程．
（2）設出直線的方程，將直線方程與橢圓方程聯立，消去x得到關于y的方程，利用韋達定理得到交點坐標的關系，求出的值，利用向量垂直的充要條件求出∠MAN的大小．
點評：求圓錐曲線的方程一般利用待定系數法；解決直線與圓錐曲線的位置關系問題，一般將直線的方程與橢圓的方程聯立，消去一個未知數得到關于一個未知數的方程，利用韋達定理得到交點坐標的關系找突破口．