Question

已知各項全不為零的數列{a_k}的前k項和為S_k，且S_k=N*），其中a₁=1．
（Ⅰ）求數列{a_k}的通項公式；
（Ⅱ）對任意給定的正整數n（n≥2），數列{b_k}滿足（k=1，2，…，n-1），b₁=1，求b₁+b₂+…+b_n

Answer 1

解：（Ⅰ）當k=1，由及a₁=1，得a₂=2．
當k≥2時，由，得a_k（a_k+1-a_k-1）=2a_k．
因為a_k≠0，所以a_k+1-a_k-1=2．從而a_2m-1=1+（m-1）•2=2m-1．a_2m=2+（m-1）•2=2m，m∈N*．
故a_k=k（k∈N*）．

（Ⅱ）因為a_k=k，所以．
所以=．
故b₁+b₂+b₃++b_n==．
分析：（Ⅰ）由，得a_k（a_k+1-a_k-1）=2a_k．再由a_k+1-a_k-1=2．知a_2m-1=1+（m-1）•2=2m-1．a_2m=2+（m-1）•2=2m，m∈N*．由此可知a_k=k（k∈N*）．
（Ⅱ）由題意知=．由此可求出b₁+b₂+b₃++b_n的值．
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意公式的靈活運用．