Question

（本小題滿分12分）

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，側(cè)棱PD垂直于底面，PD＝DC＝2BC，E為棱PC上的點，且平面BDE⊥平面PBC．

   （1）求證：E為PC的中點；

   （2）求二面角A-BD-E的大小．

Answer 1

解法一：（1）證明：如圖，作CF⊥BE，垂足為F，

                由平面BDE⊥平面PBC，

                         則CF⊥平面BDE，知CF⊥DE．

                         因為PD⊥平面ABCD，BC⊥CD，

CD為DE在平面ABCD內(nèi)的射影，

                         所以BC⊥DE，所以DE⊥平面PBC．

                         于是DE⊥PC，又PD＝PC，所以E為PC的中點．………………6分

（2）作EG⊥DC，垂足為G，則EG∥PD，從而EG⊥平面ABCD．

                      作GH⊥BD，垂足為H，連接EH，則BD⊥EH，

                         故∠EHG為二面角A－BD－E的平面角的補角．…………………9分

                         不妨設(shè)BC＝1，則PD＝DC＝2，

                         在Rt△EGH中，EG＝PD＝1，

                          GH＝＝，

                         ∴tan∠EHC＝＝．

                         因此二面角A－BD－E的大小為－arctan．……………………12分

解法二：不妨設(shè)BC＝1，則PD＝DC＝2．

                  建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－xyz，

                  則D(0，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)．

       （1）證明：設(shè)＝，則E(0，，)．

                  設(shè)a＝ (x₁，y₁，z₁)為面PBC的法向量，

                   則a⊥，a⊥，

                  又＝(1，0，0)，＝(0，－2，2)，

                  ∴a＝x₁＝0，a＝－2y₁＋2z₁＝0，

                  取a＝(0，1，1)．

                  設(shè)b＝(x₂，y₂，z₂)為面BDE的法向量，

                  則b⊥，b⊥，

                  又＝(1，2，0)，＝(0，，)，

                  ∴b＝x₂＋2y₂＝0，b＝＋＝0，

                  取b＝(，，1)．

                  ∵平面BDE⊥平面PBC，

                  ∴a·b＝＋1＝0，＝1．

                  所以E為PC的中點．…………………………………………6分

（2）由（Ⅰ）知，b＝(2，－1，1)為面BDE的法向量，

又c＝(0，0，1)為面ADB的法向量，

∵cos<b，c>＝＝，

所以二面角A－BD－E的大小為－arccos．………………12分