Question

一個盒子內裝有6張卡片，每張卡片上分別寫有如下6個定義在R上的函數：f（x）=sinx，g（x）=cosx，h（x）=xcosx，k（x）=x⁴，l（x）=x⁵，m（x）=x³sinx．
（I）現從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數相加得到一個新函數，求所得函數既不是奇函數又不是偶函數的概率；
（Ⅱ）現從盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有奇函數的卡片則停止抽取，否則繼續進行，求抽取次數ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設A表示“從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數相加，所得的新函數既不是奇函數又不是偶函數”，由f（x）=sinx是奇函數，g（x）=cosx是偶函數，h（x）=xcosx是奇函數，k（x）=x⁴是偶函數，l（x）=x⁵是奇函數，m（x）=x³sinx是偶函數，即可求得概率．
（Ⅱ）由題設知ξ可取1，2，3，4，分別求出P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4）的值，由此能求出抽取次數ξ的分布列和數學期望．

解答：解：（I）6張卡片中有3奇3偶，記“從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數相加得到一個新函數，求所得函數既不是奇函數又不是偶函數”為事件A，則P（A）=

C 1 3 C 1 3

C 2 6

；
（Ⅱ）由題設知ξ可取1，2，3，4，
P（ξ=1）=

C 1 3

C 2 6

=

1

2

，P（ξ=2）=

C 1 3

C 1 6

×

C 1 3

C 1 5

=

3

10

，
P（ξ=3）=

C 1 3

C 1 6

×

C 1 2

C 1 5

×

C 1 3

C 1 4

=

3

20

，P（ξ=4）=

1

20

，
∴ξ 的分布列為

ξ	1	2	3	4
P	1 2	3 10	3 20	1 20

數學期望Eξ=1×

1

2

+2×

3

10

+3×

3

20

+4×

1

20

=

7

4

．

點評：本題考查離散型隨機變量的數學期望和方差，解題時要認真審題，仔細解答，注意概率知識的合理運用