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已知a、b是不相等的兩個正數,在a、b之間插入兩組數x1,x2,…xn和y1,y2,…yn(n∈N,且n≥2),使得a,x1,x2,…xn,b成等差數列,a,y1,y2,…yn,b成等比數列,則下列四個式子中,一定成立的是
①②
①②
.(填上你認為正確的所有式子的序號)
n
k=i
xi=
n(a+b)
2
;②
1
n
n
k=i
xi
=
a+b
2
ab
+(
a
-
b
2
)
2
;③
ny1y2yn
=
ab
;④
ny1y2yn
2ab
a+b
分析:先根據等差數列的性質和均值不等式可判斷①②正確,再由等比數列的性質可判斷③④不正確.
解答:解:依題意可知,a,x1,x2,…,xn,b成等差數列,則x1+x2+…+xn=
(x1+xn)•n
2

∵x1+xn=a+b
n
k=1
xk=
n(a+b)
2
成立,故①正確;
1
n
n
k=1
xk
=
a+b
2
ab
+(
a
-
b
2
)
2

∴②成立
當a=y1=y2=…=yn=b時,
ny1y2yn
=
ab
,當a,y1,y2,…,yn,b不相等時,
ny1y2yn
ab

故③④不正確;
故答案為:①②
點評:本題以數列為載體,考查數列與不等式的綜合,主要考查等差數列的性質、等比數列的性質和均值不等式的知識.考查綜合運用能力.
練習冊系列答案
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已知a,b是不相等的兩個正數,在a,b之間插入兩組數:x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn,( n∈N*,且n≥2),使得a,x1,x2,…,xn,b成等差數列,a,y1,y2,…,yn,b成等比數列.老師給出下列五個式子:①
n
k=1
xk=
n(a+b)
2
;②
1
n
n
k=1
xk
ab
+(
a
-
b
2
)2
;③
ny1y2yn
ab
;④
ny1y2yn
=
ab
;⑤
ny1y2yn
ab
.其中一定成立的是
 

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