Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足條件f（0）=0，f（-x+5）=f（x-3），且方程f（x）=x有等根．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)m，n，使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[3m，3n]？如果存在，求出m，n的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）現(xiàn)設函數(shù)解析式，再根據(jù)條件用待定系數(shù)法求解未知量，即可確定函數(shù)解析式
（2）由已知條件確定原函數(shù)在[m．n]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性列出方程組，解方程組即可

解答：解：（1）∵f（x）是二次函數(shù)，設f（x）=ax²+bx+c （a≠0）
∵f（0）=0
∴c=0
∴f（x）=ax²+bx
又∵f（-x+5）=f（x-3）
∴函數(shù)f（x）的對稱軸為x=1
∴-

b

2a

=1
又∵方程f（x）=x，即ax²+（b-1）x=0有等根
∴（b-1）²=0
∴b=1，a=-

1

2

∴f(x)=-

1

2

x2+x
（2）假設存在實數(shù)m，n，使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[3m，3n]
∵f(x)=-

1

2

x2+x=-

1

2

(x-1)2+

1

2

≤

1

2

∴3n≤

1

2

∴n≤

1

6

又函數(shù)f（x）的對稱軸為x=1，且開口向下
∴f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增
∴

f(m)=3m f(n)=3n

，即

- 1 2 m2+m=3m - 1 2 n2+n=3n

又m＜n
∴m=-4，n=0
∴存在實數(shù)m=-4，n=0滿足題意

點評：本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，及二次函數(shù)的函數(shù)值和單調(diào)性．需注意條件的轉化．屬簡單題