Question

【題目】已知空間幾何體中，與均為邊長為的等邊三角形，為腰長為的等腰三角形，平面平面，平面平面.

（1）試在平面內作一條直線，使直線上任意一點與的連線均與平面平行，并給出詳細證明；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）如圖所示:取BC和BD的中點H、G，連接HG.HG為所求直線.證明平面AHG||平面CDE，

原題即得證；（2）以CD中點O為坐標原點，OD所在直線為x軸，OB所在直線為Y軸，OE所在直線為Z軸,建立空間直角坐標系，利用向量法求直線與平面所成角的正弦值.

如圖所示:取BC和BD的中點H、G，連接HG.HG為所求直線.

所以,

因為平面平面，,

所以，

取CD中點O,連接EO,

因為平面平面，

所以，

所以AH||EO,又平面CDE,平面CDE,

所以.

因為,

所以,

因為,

則，

所以直線HG上任意一點與的連線均與平面平行.

(2)以CD中點O為坐標原點，OD所在直線為x軸，OB所在直線為Y軸，OE所在直線為Z軸,建立空間直角坐標系.,

設

所以.

所以直線與平面所成角的正弦值為.