Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足且，數(shù)列的前項(xiàng)為，滿足

（Ⅰ）設(shè)，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

（Ⅱ）求的通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）對(duì)遞推公式變形可得，根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可得證；

（Ⅱ）化簡(jiǎn)可得，然后再利用裂項(xiàng)相消法求和，即可得到結(jié)果；

（Ⅲ）先求出，然后再利用分組求和求出，然后再利用分離常數(shù)法，可得，最后對(duì)進(jìn)行分類討論，即可求出結(jié)果．

解：（Ⅰ）由得，變形為：，

，且

∴數(shù)列是以首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列

（Ⅱ）由

；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知數(shù)列是以首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列

∴，于是

∴=，由得

從而 ， ∴

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，恒成立，而，∴1

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，恒成立，而，∴

綜上所述，，即的最大值為