Question

【題目】如圖，設 與定點 的距離和它到直線 的距離的比是常數，

（1）求點 的軌跡曲線 的方程：

（2）過定點 的直線 交曲線 于 兩點，以 三點（ 為坐標原點）為頂點作平行四邊形 ,若點 剛好在曲線 上，求直線 的方程．

Answer 1

【答案】（1） ;(2) ;

【解析】試題分析：

(Ⅰ)設點M的坐標為M（x，y），結合點到直線距離公式可得，整理可得曲線C的方程為.

(Ⅱ)很明顯直線斜率不存在時不滿足題意，當直線斜率存在時，聯立直線與橢圓方程，結合韋達定理得到關于斜率的方程，解方程可得，則直線 的方程是.

試題解析：

（Ⅰ）設點M（x，y），則據題意有=，

則3[（x﹣1）2+y2]=（x﹣3）2，

即2x2+3y2=6，∴，

故曲線C的方程為.

（Ⅱ）當直線l 2的斜率不存在時，顯然不適合題意；

當直線l 2的斜率存在時，設直線l 2的方程：

聯立方程：，得，

設，，則，，

即P,又點P剛好在曲線C上，∴

解得：.

所以直線l 2的方程為：