Question

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點.

   （Ⅰ）求證AM∥平面BDE；

   （Ⅱ）求二面角A―DF―B的大小；

Answer 1

（Ⅰ）證明：記AC與BD的交點為O,連接OE,

    ∵O、M分別是AC、EF的中點，ACEF是矩形，

∴四邊形AOEM是平行四邊形，

∴AM∥OE。

∵平面BDE， 平面BDE，

∴AM∥平面BDE。

   （II）在平面AFD中過A作AS⊥DF于S，連結BS，

∵AB⊥AF， AB⊥AD，

∴AB⊥平面ADF，

∴AS是BS在平面ADF上的射影，

由三垂線定理得BS⊥DF。

∴∠BSA是二面角A―DF―B的平面角。

    ASB中，

∴

∴二面角A―DF―B的大小為60º。

方法二

   （Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系。

      

    設，連接NE，

    則點N、E的坐標分別是（、（0,0,1）,

    ∴=(,

    又點A、M的坐標分別是

  （）、（

  ∴ =（

∴且NE與AM不共線，

∴NE∥AM。

又∵平面BDE， 平面BDE，

∴AM∥平面BDF。

   （Ⅱ）解：∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF

∴AB⊥平面ADF。

∴為平面DAF的法向量。

∵ =（?=0，

∴ =（?=0得

，

∴NE為平面BDF的法向量。

與的夾角是60º。

即所求二面角A―DF―B的大小是60º。