Question

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

2

，AF=1．
（1）求二面角A-DF-B的大小；
（2）在線段AC上找一點P，使PF與AD所成的角為60°，試確定點P的位置．

Answer 1

分析：（1）以

CD

，

CB

，

CE

為正交基底，建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，求出面ADF，DFB的法向量，即可求得二面角A-DF-B的大小；
（2）求出向量PF，AD的坐標，利用PF與AD所成的角為60°，結合夾角公式，即可確定點P的位置．

解答：解：（1）以

CD

，

CB

，

CE

為正交基底，建立空間直角坐標系，則E(0，0，1)，D(

2

，0，0)，B(0，

2

，0)，A(

2

，

2

，0)，
∴面ADF的法向量

t

=（1，0，0），

BD

=(

2

，-

2

，0)，

BF

=（

2

，0，1）．
設面DFB法向量

n

=(a，b，c)，則

n

•

BD

=0，

n

•

BF

=0，
所以

2 a- 2 b=0 2 a+c=0

，令a=1，得

n

=(1，1，-

2

)，
∴cos＜

n，

t

＞=

1

2

，
∴二面角A-DF-B的大小60°
（2）設P(a，a，0)(0≤a≤

2

)，
∴

PF

=(

2

-a，

2

-a，1)，

CB

=(0，

2

，0)，
∵＜

PF

，

CB

＞=60°，
∴cos60°=

2 ( 2 -a)

2 × 2( 2 -a)2+1

=

1

2

，
解得a=

2

2

故存在滿足條件的點P為AC的中點．

點評：本題考查利用空間向量解決立體幾何問題，解題的關鍵是用坐標表示點，利用數量積解決夾角問題．