Question

（本小題滿分12分）

已知函數滿足對一切都有,且,

當時有.

(1)求的值;

(2)判斷并證明函數在上的單調性;

(3)解不等式:.

 

Answer 1

【答案】

⑴在上是減函數. ⑶.

【解析】本試題主要是考查了抽象函數的賦值思想的運用，以及單調性證明和不等式的求解綜合運用。

（1）令,得, 再令,得  ,即,從而 

（2）按照定義法，任取

得到證明。

（3）由條件知,,    

設,則,即,

整理,得  

又因為在上是減函數,,即可知結論。

解:⑴令,得  ,

再令,得  ,

即,從而  .        ……………………………2分

⑵任取

     ……………………………3分

   .  ………………………4分

,即.

在上是減函數.        ……………………………6分

⑶由條件知,,    

設,則,即,

整理,得   ,      ……………………………8分

而,不等式即為,

又因為在上是減函數,,即,  …………………10分

,從而所求不等式的解集為. …………12分