Question

（本小題滿分16分）

已知函數f(x)＝ax²－(2a＋1)x＋2lnx（a為正數）．

（1）若曲線y＝f(x)在x＝1和x＝3處的切線互相平行，求a的值；

（2）求f(x)的單調區間；

（3）設g(x)＝x²－2x，若對任意x₁Î（0，2]，均存在x₂Î（0，2]，使得f(x₁)＜g(x₂)，求實數a的取值范圍．

Answer 1

f ′(x)＝ax－(2a＋1)＋(x＞0)．                    

（1）f ′(1)＝f ′(3)，解得a＝．                      ……………………………4分

（2）f ′(x)＝(x＞0)．                               

①當0＜a＜時，＞2，

在區間(0，2)和（，＋∞）上，f ′(x)＞0；在區間(2，)上f ′(x)＜0，

故f(x)的單調遞增區間是(0，2)和（，＋∞），單調遞減區間是(2，)．  ……6分

②當a＝時，f ′(x)＝≥0，故f(x)的單調遞增區間是（0，＋∞）． ………8分

③當a＞時，0＜＜2，在區間(0，)和(2，＋∞）上，f ′(x)＞0；在區間(，2)上f ′(x)＜0，故f(x)的單調遞增區間是(0，)和(2，＋∞），單調遞減區間是(，2)．  ……10分

（3）由已知，在(0，2]上有f(x)_max＜g(x)_max．       ……………………………11分

由已知，g(x)_max＝0，由（2）可知，                               

①當0＜a≤時，f(x)在(0，2]上單調遞增，

故f(x)_max＝f(2)＝2a－2(2a＋1)＋2ln2＝－2a－2＋2ln2，

∴－2a－2＋2ln2＜0，解得a＞ln2－1，ln2－1＜0，故0＜a≤．        ……13分

②當a＞時，f(x)在(0，]上單調遞增，在[，2]上單調遞減，

故f(x)_max＝f()＝－2－－2lna．

由a＞可知lna＞ln＞ln＝－1，2lna＞－2，－2lna＜2，

∴－2－2lna＜0，f(x)_max＜0，                      ……………………………15分

綜上所述，a＞0．                                   ……………………………16分