Question

已知過曲線上任意一點作直線的垂線，垂足為,且.
⑴求曲線的方程；
⑵設、是曲線上兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，
當變化且為定值時，證明直線恒過定點，
并求出該定點的坐標.

Answer 1

⑴ 
⑵當時，直線恒過定點，當時直線恒過定點.

試題分析：⑴要求曲線方程,但是不知道是哪種曲線,所以只能設點.根據,轉化為求曲線方程即可;
⑵要證明直線恒過定點,必須得有直線方程,所以首先設出直線方程.又因為兩個角是直線和的傾斜角,所以點也得設出來.利用韋達定理,然后討論的范圍變化,證明并得出定點坐標.
試題解析：⑴設，則，由得，;
即;所以軌跡方程為;
⑵設，由題意得（否則）且,
所以直線的斜率存在，設其方程為，
因為在拋物線上,所以，
將與聯立消去，得;
由韋達定理知①;
(1)當時，即時，,所以，
,所以.由①知：,所以
因此直線的方程可表示為，即.
所以直線恒過定點
(2)當時，由，得==
將①式代入上式整理化簡可得：，所以，
此時，直線的方程可表示為,
即,所以直線恒過定點;
所以由(1)(2)知，當時，直線恒過定點，
當時直線恒過定點.           12分