Question

已知函數f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象如圖所示．
（1）求函數f（x）的解析式：
（2）已知

sin4α

2sin2( π 4 +α)tan( π 4 -α)

=

2

，且a∈（0，

π

2

），求f（a）的值．

Answer 1

分析：（1）由圖象確定出f（x）的周期，利用周期公式求出ω的值，再由

2

3

×

3π

8

+φ=

π

2

+2kπ，求出φ的值，即可確定出f（x）解析式；
（2）已知等式左邊利用誘導公式化簡，再利用同角三角函數間的基本關系及二倍角的正弦函數公式變形，約分得到cos2α的值，確定出α的度數，即可求出f（α）的值．

解答：解：（1）由圖象可知

T

2

=

15π

8

-

3π

8

=

12π

8

=

3π

2

，
∴T=3π=

2π

|ω|

，∴ω=

2

3

，
∵

2

3

×

3π

8

+φ=

π

2

+2kπ，0＜φ＜π，
∴φ=

π

4

，
∴f（x）=2sin（

2

3

x+

π

4

）；
（2）已知等式變形得：

sin4α

2cos2( π 4 -α)tan( π 4 -α)

=

sin4α

2cos( π 4 -α)sin( π 4 -α)

=

2sin2αcos2α

sin( π 2 -2α)

=2sin2α=

2

，
∴sin2α=

2

2

，
∵α∈（0，

π

2

），
∴2α=

π

4

或

3π

4

，即α=

π

8

或

3π

8

，
當α=

π

8

時，f（α）=2sin（

2

3

×

π

8

+

π

4

）=2sin

π

3

=

3

；
當α=

3π

8

時，f（α）=2sin（

2

3

×

3π

8

+

π

4

）=2sin

π

2

=2．

點評：此題考查了二倍角的正弦函數公式，誘導公式的作用，以及三角函數的周期性及其求法，熟練掌握公式是解本題的關鍵．