Question

9．在平面直角坐標系式xOy中，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-c，0）、F₂（c，0），已知（1，e）和（e，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點F₂的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，且$\overrightarrow{P{F}_{2}}$•$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$+$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$•$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=4，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據橢圓的性質和已知（1，e）和（e，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）都在橢圓上，列式求解．
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由$\overrightarrow{P{F}_{2}}$•$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$+$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$•$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=4，得x₁x₂+y₁y₂+x₁+x₂+1=0，設直線l的方程為x=my+1，由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}{+y}^{2}=1}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，可得（m²+2）y+2my-1=0．x₁+x₂+x₁x₂+y₁y₂+1=2m（y₁+y₂）+（m²+1）y₁y₂+4=2m×$\frac{-2m}{{m}^{2}+2}$+（m²+1）×$\frac{-1}{{m}^{2}+2}+4$=0，m=$±\sqrt{7}$．即可求出直線方程．

解答 （1）解：由題設知a²=b²+c²，e=$\frac{c}{a}$，由點（1，e）在橢圓上，得$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}=1$，
，∴b=1，c²=a²-1．
由點（e，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在橢圓上，得$\frac{{e}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}=1}$，即$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{4}}+\frac{3}{4}=1$，解得a=2．
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$
（2）由（1）得F₁（-1，0），F₂（1，0），設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
$\overrightarrow{{PF}_{2}}=（1-{x}_{1}，-{y}_{1}）$，$\overrightarrow{{F}_{1}Q}=（{x}_{2}+1，{y}_{2}）$，$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}=（2，0）$，$\overrightarrow{Q{F}_{2}}=（1-{x}_{2}，-{y}_{2}）$
且$\overrightarrow{P{F}_{2}}$•$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$+$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$•$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=4，∴x₁x₂+y₁y₂+x₁+x₂+1=0
當直線l的斜率為0 時，不符合題意，∴設直線l的方程為x=my+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}{+y}^{2}=1}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，可得（m²+2）y+2my-1=0．
∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-2m}{{m}^{2}+2}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-1}{{m}^{2}+2}$
x₁+x₂+x₁x₂+y₁y₂+1=2m（y₁+y₂）+（m²+1）y₁y₂+4=2m×$\frac{-2m}{{m}^{2}+2}$+（m²+1）×$\frac{-1}{{m}^{2}+2}+4$=0
m=$±\sqrt{7}$．
∴直線l的方程為：x=$±\sqrt{7}y+1$

點評 本題考查了橢圓的方程，直線與橢圓的位置關系，考查了計算能力，屬于中檔題．