Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為a，點M在邊BC上，△AMC₁是以點M為直角頂點的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求證點M為邊BC的中點；
（Ⅱ）求C到平面AMC₁的距離；
（Ⅲ）求二面角M-AC₁-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據等腰直角三角形，可得AM⊥C₁M且AM=C₁M，根據三垂線定理可知AM⊥CM，而底面ABC為邊長為a的正三角形，則即可證得點M為BC邊的中點；
（Ⅱ）過點C作CH⊥MC₁，根據線面垂直的判定定理可知AM⊥平面C₁CM，CH⊥平面C₁AM，則CH即為點C到平面AMC₁的距離，根據等面積法可求出CH的長；
（Ⅲ）過點C作CI⊥AC₁于I，連HI，根據三垂線定理可知HI⊥AC₁，根據二面角的平面角的定義可知∠CIH是二面角M-AC₁-C的平面角，在直角三角形ACC₁中利用等面積法可求出CI，即可求出二面角M-AC₁-C的大小．

解答：解：（Ⅰ）∵△AMC₁為以點M為直角頂點的等腰直角三角形，
∴AM⊥C₁M且AM=C₁M
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴CC₁⊥底面ABC
∴C₁M在底面內射影為CM，AM⊥CM．
∵底面ABC為邊長為a的正三角形，
∴點M為BC邊的中點
（Ⅱ）過點C作CH⊥MC₁，由（Ⅰ）知AM⊥C₁M且AM⊥CM，
∴AM⊥平面C₁CM∵CH在平面C₁CM內，
∴CH⊥AM，
∴CH⊥平面C₁AM
由（Ⅰ）知，AM=CM=

3

2

a，CM=

1

2

a且CC1⊥BC
∴CC1=

3 4 a2- 1 4 a2

=

2

2

a
∴CH=

C1C×CM

C1M

=

2 2 a× 1 2 a

3 2 a

=

6

6

a
∴點C到平面AMC₁的距離為底面邊長為

6

6

a
（Ⅲ）過點C作CI⊥AC₁于I，連HI，
∵CH⊥平面C₁AM，
∴HI為CI在平面C₁AM內的射影，
∴HI⊥AC₁，∠CIH是二面角M-AC₁-C的平面角，
在直角三角形ACC₁中CI=

CC1×AC

AC1

=

2 2 a×a

a2+( 2 2 a)2

=

3

3

a，
sin∠CIH=

CH

CI

=

6 6 a

3 3

=

2

2

∴∠CIH=45°，
∴二面角M-AC₁-C的大小為45°

點評：本題主要考查了點線的位置關系，以及點到平面的距離和二面角的度量，同時考查了空間想象能力和計算能力，以及轉化與劃歸的思想，屬于中檔題．