Question

【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值3和最小值.

(1)求實(shí)數(shù)的值；

(2)設(shè)，若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) .(2) .

【解析】試題分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最大值和最小值，得到關(guān)于的方程組，解出即可；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 ，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值，求出的范圍即.

試題解析：(1)∵的對(duì)稱(chēng)軸是，又∵.

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

∴當(dāng)時(shí)， 取最小值，當(dāng)時(shí)， 取最大值3；

即，解得.

(2)∵，

∴，

∴，∴，

令，則在上是增函數(shù)，

故，

∴在上恒成立時(shí)， .

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查二次函數(shù)的最值以及不等式恒成立問(wèn)題，屬于難題．不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)方法：① 分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立（即可）；② 數(shù)形結(jié)合(圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數(shù).本題是利用方法 ① 求得 的范圍的.