Question

（2012•資陽(yáng)三模）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為Sn，且S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹數(shù)列{b_n}滿足bn=log₂

an

n+1

，其中n∈N^*．
（I）求數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式；
（II）求使不等式（1+

1

b1

）•（1+

1

b3

）…（1+

1

b2n-1

）≥m•

b2n+1

對(duì)任意正整數(shù)n都成立的最大實(shí)數(shù)m的值；
（III）當(dāng)n∈N^*時(shí)，求證

C 0 n

b1

+

C 1 n

b3

+L+

C n-1 n

b2n-1

+

C n n

b2n+1

≤

an

b2n+1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)數(shù)列遞推式，確定數(shù)列是數(shù)列{

an

2n

}是公差為1的等差數(shù)列，將a₁=4代入便可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為m≤

(1+1)•(1+ 1 3 )…(1+ 1 2n-1 )

2n+1

對(duì)任意正整數(shù)n都成立，求出右邊函數(shù)的最大值，即可求得m的最大值；
（III）欲證

C 0 n

b1

+

C 1 n

b3

+…+

C n-1 n

b2n-1

+

C n n

b2n+1

≤

an

b2n+1

，只要證

C 0 n

1

+

C 1 n

3

+…+

C n-1 n

2n-1

+

C n n

2n+1

≤2n•

n+1

2n+1

，利用

C i n

2i+1

+

C n-i n

(2n+2)-(2i+1)

=

C i n

2i+1

+

C n-i n

(2n+1)-2i

≤

(2n+2 )C i n

2n+1

，即可證得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．
兩式相減，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）．
于是

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，所以數(shù)列{

an

2n

}是公差為1的等差數(shù)列．
又S₁=a₁=2a₁-2²，所以a₁=4．
所以

an

2n

=2+（n-1）=n+1，故a_n=（n+1）•2ⁿ
（II）∵b_n=log₂

an

n+1

=log₂2ⁿ=n
∴（1+

1

b1

）•（1+

1

b3

）…（1+

1

b2n-1

）≥m•

b2n+1

即為（1+1）•（1+

1

3

）…（1+

1

2n-1

）≥m•

2n+1

∴m≤

(1+1)•(1+ 1 3 )…(1+ 1 2n-1 )

2n+1

對(duì)任意正整數(shù)n都成立
令f（n）=

(1+1)•(1+ 1 3 )…(1+ 1 2n-1 )

2n+1

，則f（n+1）=

(1+1)•(1+ 1 3 )…(1+ 1 2n-1 )(1+ 1 2n+1 )

2n+3

∴

f(n+1)

f(n)

=

2n+2

2n+1 • 2n+3

=

4n2+4n+4 4n2+8n+3

＞1
∴f（n）單調(diào)遞增，故f（n）≥f（1）=

2 3

3

∴m≤

2 3

3

∴m的最大值為

2 3

3

；
（III）證明：欲證

C 0 n

b1

+

C 1 n

b3

+…+

C n-1 n

b2n-1

+

C n n

b2n+1

≤

an

b2n+1

只要證

C 0 n

1

+

C 1 n

3

+…+

C n-1 n

2n-1

+

C n n

2n+1

≤2n•

n+1

2n+1

∵

C i n

2i+1

+

C n-i n

(2n+2)-(2i+1)

=

C i n

2i+1

+

C n-i n

(2n+1)-2i

≤

(2n+2 )C i n

2n+1

∴

C 0 n

1

+

C 1 n

3

+…+

C n-1 n

2n-1

+

C n n

2n+1

=

1

2

[（

C 0 n

1

+

C 1 n

3

+…+

C n-1 n

2n-1

+

C n n

2n+1

）+（

C n-1 n

2n-1

+

C n n

2n+1

+…+

C 0 n

1

+

C 1 n

3

）]≤

1

2

×

2n+2

2n+1

(C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n n

)=2n•

n+1

2n+1

∴

C 0 n

1

+

C 1 n

3

+…+

C n-1 n

2n-1

+

C n n

2n+1

≤2n•

n+1

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查恒成立問(wèn)題，考查不等式的證明，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵．