Question

如圖，已知正方體棱長為1，求證：平面B₁AD₁∥平面BC₁D，并寫出這兩個平行平面間的距離．

Answer 1

分析：利用面面平行的判定定理轉化為證明D₁B₁∥平面DBC₁，AD₁∥平面DBC₁，進而轉化為證明線線平行即可；先利用線面垂直的判定定理證明A₁C⊥平面B₁AD₁，由面面平行的性質知A₁C⊥平面BC₁D，設A₁C分別交平面B₁AD₁，平面BC₁D點O₁，O₂，則O₁O₂即為量平行平面間的距離，利用等積法可求得A₁O₁，CO₂，從而可求得O₁O₂，即所求距離．

解答：解：因為B₁B∥D₁D，B₁B=D₁D，
所以四邊形DD₁B₁B為平行四邊形，所以D₁B₁∥DB，
又D₁B₁?面BDC₁，DB?平面DBC₁，
所以D₁B₁∥平面DBC₁，
同理AD₁∥平面DBC₁，
又AD₁∩D₁B₁=D₁，D₁B₁?平面B₁AD₁，AD₁?平面B₁AD₁，
所以平面B₁AD₁∥平面BC₁D；
連接A₁C，A₁D，
因為CD⊥平面AA₁D₁D，AD₁?平面AA₁D₁D，所以CD⊥AD₁，
又AD₁⊥A₁D，CD∩A₁D=D，
所以AD₁⊥平面A₁DC，
A₁C?平面A₁DC，所以AD₁⊥A₁C，
同理可證AB₁⊥A₁C，
又AD₁∩AB₁=A，所以A₁C⊥平面B₁AD₁，
而平面B₁AD₁∥平面BC₁D，所以A₁C⊥平面BC₁D，
設A₁C分別交平面B₁AD₁，平面BC₁D點O₁，O₂，則O₁O₂即為兩平行平面間的距離，
在三棱錐中，VA-A1B1D1=VA1-AB1D1，即

1

3

×S△A1B1D1×AA₁=

1

3

×S△AB1D1×A₁O₁，
所以

1

2

×1×1×1=

3

4

×(

2

)2×A₁O₁，解得A₁O₁=

3

3

，
根據正方體的對稱性可求得CO₂=

3

3

，所以O₁O₂=

1

3

A₁C=

3

3

，
所以這兩個平行平面間的距離為

3

3

．

點評：本題考查空間點、線、面間的距離計算，考查學生的空間想象能力、計算能力及邏輯推理能力，熟記相關判定定理性質定理是解決該類題目的基礎．