Question

（本小題滿分14分）如圖，在四面體A?BCD中，AD^平面BCD，BC^CD，AD=2，BD=2．M是AD的中點.

（1）證明：平面ABC平面ADC；
（2）若ÐBDC=60°，求二面角C?BM?D的大小．

Answer 1

(1)見解析(2)

試題分析：(1)證明面面垂直幾何法就要證線面垂直,要證線面垂直就要證線線垂直;線線、線面、面面垂直之間相互轉化. 由題意知從點出發的三條件直線兩兩垂直,從而,又在平面內,所以可證得平面ABC平面ADC.證明面面垂直向量法可證法向量垂直,由題意知從點出發的三條件直線兩兩垂直,可以建立空間直角坐標系.
(2)求二面角可用兩種向量法(面向量和法向量)或幾何法,面向量法即在兩個半平面內分別從頂點出發與棱垂直的兩個向量所成的角.幾何法(三垂線法)重點是找到二面角的平面角,①在幾何體內找第三個平面與二面角的兩個半平都垂直,交線所成角即為平面角;如果找不到可以退而求其次,找第三個平面與二面角的其中一個半平垂直.②與另外一個半交于點,過點作交線的垂線③過點作棱的垂線④連所得到的為二面角的平面角⑤在直角三角形求角.用法向量法求二面角不容易判斷所求出的是二面角還是其補角,所以盡量不用它.
試題解析：
（1） 
又     （4分）
又         （6分）

（2）作CG^BD于點G，作GH^BM于點HG，連接CH.   （8分）
 
又 
又
又


所以ÐCHG為二面角的平面角.      （10分）
在Rt△BCD中，
CD=BD=，CG=CD，BG=BC
在Rt△BDM中，HG==
在Rt△CHG中，tanÐCHG=
所以即二面角C-BM-D的大小為60°.     （14分）