【題目】設函數
.
（1）若方程
在
上有根，求實數
的取值范圍；
（2）設
，若對任意的
，
都有
，求實數的取值范圍.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）由題意可得函數h（x）＝f（x）﹣3x＝x2+|x﹣1|﹣3x+2a 在
上有零點，
h（0）h（1）＝（2a+1）（2a﹣2）＜0，由此求得a的范圍；
（2）對任意的
，
都有
，即
，分別求兩邊函數的最值即可.
（1）∵方程f（x）＝3x在上有根，
∴函數h（x）＝f（x）﹣3x＝x2+|x﹣1|﹣3x+2a 在上有零點．
由于在上，h（x）＝f（x）﹣3x＝x2﹣4x+2a+1是減函數，
故有h（0）h（1）＝（2a+1）（2a﹣2）＜0，
求得
a＜1．
（2）對任意的，都有，
即
，
時，
的最小值為
，
時，
的最小值為
故
在
上的最小值為
（x）＝cos2x+2asinx
＝﹣sin2x+2asinx+1
令t＝sinx，因為
，所以﹣1≤t≤1且y＝﹣t2+2at+1，其對稱軸為t＝a，
故a≤﹣1時，y＝﹣t2+2at+1
在[﹣1，1]上是減函數，最大值為﹣4a，
此時﹣4a＜1，a＞
，無解；
當﹣1＜a＜1時，當t＝a時y有最大值a2 +1，
此時a2 +1＜1，即
，又﹣1＜a＜1，∴0＜a＜1
當a≥1時，y＝﹣t2+2at+1在[﹣1，1]上是增函數，最大值為0
此時0＜1，顯然恒成立，
綜上：a的范圍
挑戰100單元檢測試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統計分析，得下表數據：
x | 6 | 8 | 10 | 12 |
y | 2 | 3 | 5 | 6 |
（1）請在圖中畫出上表數據的散點圖；
請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程
；
試根據求出的線性回歸方程，預測記憶力為9的同學的判斷力．
相關公式：
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知,如圖,在直二面角
中,四邊形
是邊長為
的正方形,
,且
.
（Ⅰ）求證:
平面
;
（Ⅱ）求二面角
的余弦值;
（Ⅲ）在線段
（不包含端點）上是否存在點
,使得
與平面
所成的角為
;若存在,寫出
的值,若不存在,說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨機擲兩枚質地均勻的骰子,它們向上的點數之和不超過5的概率記為p1,點數之和大于5的概率記為p2,點數之和為偶數的概率記為p3,則
( )
A. p1<p2<p3 B. p2<p1<p3 C. p1<p3<p2 D. p3<p1<p2
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在極坐標系中，已知三點O（0，0），A（2， 
），B（2 
， 
）．
（1）求經過O，A，B的圓C1的極坐標方程；
（2）以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，圓C2的參數方程為 
（θ是參數），若圓C1與圓C2外切，求實數a的值．
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