Question

設定義在R上的函數f（x）存在反函數，且對于任意x∈R恒有f（x+1）+f（-x-4）=2，則f^-1（2011-x）+f^-1（x-2009）=

-3

．

Answer 1

分析：由換元得f（t）+f（-t-3）=2，注意（2011-x ）與 （x-2009 ）的和等于2，若（2011-x ）與 （x-2009 ）一個是t，則另一個是-t-3，再應用反函數的定義解出 t 和-t-3．

解答：解：∵f（x+1）+f（-x-4）=2，∴f（t）+f（-t-3）=2，
令 2011-x=m，x-2009=n，∴m+n=2，
∴可令 f（t）=m，f（-t-3）=n，由反函數的定義知，
∴t=f^-1（m），-t-3=f^-1（n）
∴f′（m）+f′（n）=-3，
即：f^-1（2011-x）+f^-1（x-2009）的值是-3，
故答案為：-3．

點評：本題考查反函數的定義，體現換元的數學思想，屬于基礎題．