Question

（文）橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)的焦點為F₁，F₂，若橢圓上有且僅有兩點B₁，B₂滿足∠F₁B₁F₂=∠F₁B₂F₂=120°，則a：b=

2

．

Answer 1

分析：先根據橢圓的對稱性結合條件得出兩點B₁，B₂必為橢圓的短軸的端點，再根據橢圓的對稱性可知|B₁F₁|=|B₁F₂|，根據△F₁B₁F₂是等腰三角形可推斷出短軸平分∠F₁B₁F₂，進而求得頂角的半角，進而根據sin60°=

|OF1|

|B1F1|

=

c

a

求得橢圓的a，c的關系，從而得出a：b．

解答：解：根據橢圓的對稱性結合條件得出兩點B₁，B₂必為橢圓的短軸的端點，
∵B₁是短軸的一個端點，
∴|B₁F₁|=|B₁F₂|
△F₁B₁F₂是等腰三角形
∴短軸平分∠F₁B₁F₂
∴頂角的一半是

120°

2

=60°
∴sin60°=

|OF1|

|B1F1|

=

c

a

（O為原點）
∴

c

a

=

3

2

⇒c=

3

2

a，
∴a：b=

a

a2-c2

=

a

a2-( 3 a 2 )2

=2
故答案為：2．

點評：本題主要考查了橢圓的應用，主要考查了橢圓的簡單性質．此題關鍵是兩點B₁，B₂必為橢圓的短軸的端點．