Question

（2009•閔行區(qū)二模）（文）橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上的點(diǎn)P到它的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂的距離之比|PF1|：|PF2|=2：

3

，且∠PF1F2=α(0＜α＜

π

2

)，則α的最大值為（　　）

• A．

  π

  6

• B．

  π

  4

• C．

  π

  3

• D．arccos

  2 3

  3

Answer 1

分析：本選擇題利用特殊值法解決，不妨設(shè)|PF₁|=2，|PF2|=

3

，在三角形PF₁F₂，由余弦定理結(jié)合基本不等式得cosα的取值范圍，從而得出α的最大值．

解答：解：不妨設(shè)|PF₁|=2，|PF2|=

3

，|F₁F₂|=2c，
則2a=2+

3

⇒a=

1

2

（2+

3

），
∴c＜a=

1

2

（2+

3

），
在三角形PF₁F₂，由余弦定理得：A
cosα=

PF 1 2+F  1F 2 2-PF   2 2

2PF 1•F 1F 2

=

4+c 2-3

4c

=

1+c 2

4c

≥

2c

4c

=

1

2

由于c＜a=

1

2

（2+

3

），
故當(dāng)且僅當(dāng)c=1時(shí)取等號(hào)，
cosα的最小值為

1

2

，∵0＜α＜

π

2

，
則α的最大值為

π

3

．
故選C．

點(diǎn)評：本小題主要考查橢圓的參數(shù)方程、余弦定理、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．