Question

2．若曲線C₁：y=ax²（a＞0）與曲線C₂：y=e^-x有公共切線，則a的取值范圍為（　　）

• A． [$\frac{{e}^{2}}{4}$，+∞）
• B． [$\frac{{e}^{2}}{8}$，+∞）
• C． （0，$\frac{{e}^{2}}{4}$]
• D． （0，$\frac{{e}^{2}}{8}$]

Answer 1

分析 求出兩個函數的導函數，由導函數相等列方程，再由方程有根轉化為兩函數圖象有交點求得a的范圍．

解答 解：設公切線與曲線C₁切于點（x₁，ax₁²），與曲線C₂切于點（x₂，${e}^{-{x}_{2}}$），
則曲線C₁的導數為y′=2ax，C₂的導數為y′=-e^-x．
則2ax₁=-${e}^{-{x}_{2}}$=$\frac{{e}^{-{x}_{2}}-a{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
將${e}^{-{x}_{2}}$=-2ax₁代入2ax₁=$\frac{{e}^{-{x}_{2}}-a{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，可得2x₂=x₁-2，
∴a=-$\frac{{e}^{-\frac{{x}_{1}}{2}+1}}{2{x}_{1}}$，
記f（x）=-$\frac{{e}^{-\frac{x}{2}+1}}{2x}$，
則f′（x）=$\frac{{e}^{-\frac{x}{2}+1}（x+2）}{4{x}^{2}}$，當x∈（-∞，-2）時，f′（x）＜0．
當x∈（-2，+∞）時，f′（x）＞0，
∴當x=-2時，f（x）_min=f（-2）=$\frac{{e}^{2}}{4}$．
∴a的范圍是[$\frac{{e}^{2}}{4}$，+∞）．
故選A．

點評 本題考查了利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，綜合考查導數的應用，綜合性較強，難度較大．