Question

（文）觀察下面的數陣，回答下列問題，
（1）第10行所有數的和是多少？
（2）記各行最右端的數的倒數構成數列{a_n}，{a_n}的前n項和為s_n． 證明：s_n＜

7

4

．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，第n行的最后一個數n²，且該行有2n-1個數，依照此規律，結合等差數列的求和公式即可求解
（2）由a_n=

1

n2

＜

1

n2-1

=

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)（n＞1），利用裂項求和及放縮法即可證明

解答：解：（1）由題意可得，第n行的最后一個數n²，且該行有2n-1個數
∴第10行的最后一個數是100，且該行有19個數
∴第10行的所有的數的和是：82+83+…+100=1729
（2）∵a_n=

1

n2

＜

1

n2-1

=

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)（n＞1）
∴s_n=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n+1

)
=1+

1

2

(1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

)＜

7

4

點評：本題主要考查了數列的通項與求和，解題的關鍵是要觀察出已知數陣的規律與特點