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已知二次函數f(x)滿足f(x+1)-f(x)=2x且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)當x∈[-1,1]時,不等式:f(x)>2x+m恒成立,求實數m的范圍.
(3)設g(t)=f(2t+a),t∈[-1,1],求g(t)的最大值.
分析:(1)設出二次函數的一般形式后,代入f(x+1)-f(x)=2x,化簡后根據多項式相等,各系數相等即可求出a,b及c的值,即可確定出f(x)的解析式;
(2)不等式恒成立即為把不等式變為x2-3x+1>m,令g(x)等于x2-3x+1,求出g(x)在區間[-1,1]上的最大值,即可得到m的取值范圍,求最大值的方法是:把g(x)配方成二次函數的頂點形式,找出對稱軸,經過判斷發現對稱軸在區間內,又二次函數的開口向上,所以得到g(x)的最大值為g(1),代入g(x)的解析式即可得到g(1)的值,讓m小于等于g(1)即可求出m的范圍;
(3)把x=2t+a代入f(x)的解析式中即可表示出g(t)的函數關系式,由二次函數求對稱軸的方法表示出g(t)的對稱軸,根據對稱軸大于等于0和小于0,分兩種情況考慮,分別畫出相應的函數圖象,根據函數的圖象即可分別得到g(t)的最大值,并求出相應t的范圍,聯立即可得到g(t)最大值與t的分段函數解析式.
解答:精英家教網解:(1)令f(x)=ax2+bx+c(a≠0)代入f(x+1)-f(x)=2x,
得:a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2x,2ax+a+b=2x,
a=1
b=-1
c=1

∴f(x)=x2-x+1;
(2)當x∈[-1,1]時,f(x)>2x+m恒成立即:x2-3x+1>m恒成立;
g(x)=x2-3x+1=(x-
3
2
)2-
5
4

x∈[-1,1],
則對稱軸:x=
3
2
∉[-1,1]

則g(x)min=g(1)=-1,
∴m<-1;
(3)g(t)=f(2t+a)=4t2+(4a-2)t+a2-a+1,t∈[-1,1]
對稱軸為:t=
1-2a
4

①當
1-2a
4
≥0
時,即:a≤
1
2
;如圖1:
g(t)max=g(-1)=4-(4a-2)+a2-a+1=a2-5a+7
②當
1-2a
4
<0
時,即:a>
1
2
;如圖2:
g(t)max=g(1)=4+(4a-2)+a2-a+1=a2+3a+3,
綜上所述:g(t)max=
a2-5a+7
a2+3a+3
a≤
1
2
a>
1
2
點評:此題考查學生會利用待定系數法求函數的解析式,掌握二次函數的圖象與性質及不等式恒成立時所滿足的條件,考查了分類討論的數學思想,是一道綜合題.
練習冊系列答案
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(Ⅰ)求f(x)的表達式;
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f(x)x-1

(1)求a的值;
(2)k(k∈R)如何取值時,函數φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在極值點,并求出極值點;
(3)若m=1,且x>0,求證:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

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科目:高中數學 來源: 題型:

(1)已知二次函數f(x)的圖象與x軸的兩交點為(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.
(2)已知二次函數f(x)的圖象的頂點是(-1,2),且經過原點,求f(x)的解析式.

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同步練習冊答案
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