Question

已知球O的半徑為R，圓柱內接于球，當內接圓柱的體積最大時，高等于（　　）

• A．

  2 3

  3

  R
• B．

  3

  3

  R
• C．

  3

  2

  R
• D．

  3

  R

Answer 1

分析：設球內接圓柱的高為h，圓柱底面半徑為r，得圓柱體積V關于h的函數表達式：V（h）=πR²h-

1

4

πh³（0＜h＜2R）．利用求導數的方法，討論函數V（h）的單調性，可得當h=

2 3 R

3

時，V（h）取得最大值，得到本題的答案．

解答：解：設球內接圓柱的高為h，圓柱底面半徑為r
則h²+（2r）²=（2R）²，得r²=R²-

1

4

h²．（0＜h＜2R）
∴圓柱的體積為V（h）=πr²h=πh（R²-

1

4

h²）=πR²h-

1

4

πh³．（0＜h＜2R）
求導數，得V'（h）=πR²-

3

4

πh²=π（R+

3 h

2

）（R-

3 h

2

）
∴0＜h＜

2 3 R

3

時，V'（h）＞0；

2 3 R

3

＜h＜2R時，V'（h）＜0
由此可得：V（h）在區間（0，

2 3 R

3

）上是增函數；在區間（

2 3 R

3

，2R）上是減函數
∴當h=

2 3 R

3

時，V（h）取得最大值．
故選：A

點評：本題主要考查了球和圓柱的有關知識以及函數建模以及用導數這一工具求最值的方法，屬于中檔題．解題過程體現了高考考背景、考應用的導向．