Question

已知拋物線y²=4x的焦點為F，過F作兩條互相垂直的弦AB、CD，設AB、CD的中點分別為M、N．
（1）求證：直線MN必過定點，并寫出此定點坐標；
（2）分別以AB和CD為直徑作圓，求兩圓相交弦中點H的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）通過已知條件求出直線MN的方程，直線MN是直線系，即可得到直線過的定點，問題得到證明；
（2）求出以AB和CD為直徑的圓的方程，然后求兩圓相交弦的直線方程，說明公共弦過原點O．∠OHT=90°．
得到點H的軌跡是以OT為直徑的圓（除去直徑的兩個端點）即可．

解答：解：（1）設AB斜率為k，將AB方程與拋物線方程聯立，求得M(

k2+2

k2

，

2

k

)，將k換為-

1

k

得N（2k²+1，-2k），由兩點式得MN方程為（1-k²）y=k（x-3），則直線MN恒過定點T（3，0）；…（7分）
（2）由拋物線性質，以AB、CD為直徑的⊙M、⊙N的半徑分別為x_M+1，x_N+1，于是可得兩圓方程分別為(x-xM)2+(y-yM)2=(xM+1)2和(x-xN)2+(y-yN)2=(xN+1)2，
兩式相減可得其相交弦所在直線方程為
（x_M-x_N）x+（y_M-y_N）y=

1

2

(yM2-yN2)-(xM-xN)=

1

2

(

4

k2

-4k2)-(

2

k2

-2k2)=0，
則公共弦過原點O．所以∠OHT=90°．
于是，點H的軌跡是以OT為直徑的圓（除去直徑的兩個端點），
其軌跡方程為(x-

3

2

)2+y2=

9

4

(y≠0)…（14分）

點評：本題考查直線與圓的位置關系，直線系方程的應用，軌跡方程的求法，考查分析問題解決問題的能力．