Question

已知兩點(diǎn)A（2，3）、B（4，1），直線l：x+2y-2=0，在直線l上求一點(diǎn)P．
（1）使|PA|+|PB|最小；
（2）使|PA|-|PB|最大．

Answer 1

分析：先判斷A、B與直線l：x+2y-2=0的位置關(guān)系，即把點(diǎn)的坐標(biāo)代入x+2y-2，看符號(hào)相同在同側(cè)，相反異側(cè)．
（1）使|PA|+|PB|最小，如果A、B在l的同側(cè)，將其中一點(diǎn)對(duì)稱到l的另一側(cè)，連線與l的交點(diǎn)即為P；
如果A、B在l的異側(cè)，則直接連線求交點(diǎn)P即可．
（2）使|PA|-|PB|最大．如果A、B在l的同側(cè)，則直接連線求交點(diǎn)P即可；
如果A、B在l的異側(cè)，將其中一點(diǎn)對(duì)稱到l的另一側(cè)，連線與l的交點(diǎn)即為P．

解答：解：（1）可判斷A、B在直線l的同側(cè)，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（x₁，y₁）．
則有

x1+2

2

+2•

y1+3

2

-2=0，

y1-3

x1-2

•（-

1

2

）=-1．
解得
x₁=-

2

5

，
y₁=-

9

5

．
由兩點(diǎn)式求得直線A₁B的方程為y=

7

11

（x-4）+1，直線A₁B與l的交點(diǎn)可求得為P（

56

25

，-

3

25

）．
由平面幾何知識(shí)可知|PA|+|PB|最小．
（2）由兩點(diǎn)式求得直線AB的方程為y-1=-（x-4），即x+y-5=0．
直線AB與l的交點(diǎn)可求得為P（8，-3），它使|PA|-|PB|最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，直線關(guān)于直線對(duì)稱問(wèn)題，以及平面幾何知識(shí)，是中檔題．