Question

已知拋物線C₁：y=x²+2x和C₂：y=-x²+a，如果直線l同時是C₁和C₂的切線，稱l是C₁和C₂的公切線，公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段。

（1）a取什么值時，C₁和C₂有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；

（2）若C₁和C₂有兩條公切線，證明相應的兩條公切線段互相平分。

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）解析  函數y=x2+2x的導數y¢=2x+2，曲線C1在點的切線方程是： ，即                        ① 函數y=-x2+a的導數y¢=-2x，曲線C2在點的切線方程是： ，即。                           ② 如果直線l是過P和Q的公切線，則①式和②式都是l的方程，所以。消去x2得方程。 若判別式D=4-4´2(1+a)=0，即時解得，此時點P與Q重合，即當時C1和C2有且僅有一條公切線，由①得公切線方程為。 （2）證明：由（1）可知，當時，C1和C2有兩條公切線。 設一條公切線上切點為：P(x1，y1)，Q(x2，y2)。其中P在C1上，Q在C2上，則有x1+x2=-1，。 線段PQ的中點為。同理，另一條公切線段P¢Q¢的中點也是。所以公切線段PQ和P¢Q¢互相平分。