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已知拋物線C1：y=x2+2x和C2：y=-x2+a．a取何值時C₁和C₂有且僅有一條公切線l，求出公切線l的方程．

分析：分別求出切線方程，從而可得方程，利用公切線有且僅有一條，即可求得結論．

解答：解：函數y=x²+2x的導數為y′=2x+2，在切點P（x1，x12+2x）處的切線方程為y=(2x1+2)x-x12
同理，曲線C₂的在切點Q（x₂，2x₂）的切線方程為y=-2x2x+x22+a
由

x1+1=-x2

-x12=x22+a

可得2x12+2x1+1+a=0，因為公切線有且僅有一條，所以△=0
∴a=-

時，P，Q重合，公切線方程為：y=x-

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．

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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知拋物線C₁：y=2x²與拋物線C₂關于直線y=-x對稱，則C₂的準線方程為（　　）

A、x=

B、x=-

C、x=

D、x=-

科目：高中數學 來源： 題型：

已知拋物線C₁：y=x²，橢圓C₂：x²+

=1．
（1）設l₁，l₂是C₁的任意兩條互相垂直的切線，并設l₁∩l₂=M，證明：點M的縱坐標為定值；
（2）在C₁上是否存在點P，使得C₁在點P處切線與C₂相交于兩點A、B，且AB的中垂線恰為C₁的切線？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

科目：高中數學 來源： 題型：

已知拋物線C₁：y=x²+2x和C：y=-x²+a，如果直線l同時是C₁和C₂的切線，稱l是C₁和C₂的公切線，公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段．
（Ⅰ）a取什么值時，C₁和C₂有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；
（Ⅱ）若C₁和C₂有兩條公切線，證明相應的兩條公切線段互相平分．

科目：高中數學 來源： 題型：

已知拋物線C₁：y=x²，F為拋物線的焦點，橢圓C₂：

=1（0＜a＜2）；
（1）若M是C₁與C₂在第一象限的交點，且|MF|=

，求實數a的值；
（2）設直線l：y=kx+1與拋物線C₁交于A，B兩個不同的點，l與橢圓C₂交于P，Q兩個不同點，AB中點為R，PQ中點為S，若O在以RS為直徑的圓上，且k 2＞

，求實數a的取值范圍．

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