Question

已知圓O：x²+y²=4，點P為直線l：x=4上的動點，
(1)若從P到圓O的切線長為2，求P的坐標以及兩條切線所夾劣弧長；
(2)若點A(-2，0)，B(2，0)，直線PA、PB與圓O的另一個交點分別為M、N，求證：直線MN經過定點(1，0)。

Answer 1

解：根據題意，設P(4，t)，
(1)設兩切點為C、D，則OC⊥PC，OD⊥PD，
由題意可知，，
即，解得t=0，
所以點P的坐標為(4，0)，
在Rt△POC中，易得∠POC=60°，所以∠DOC=120°，
所以兩切線所夾劣弧長為；
(2)設M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，Q(1，0)，
依題意，直線PA經過點A(-2，0)，P(4，t)，
可以設直線AP的方程為和圓聯立，得到，
代入消元得到，，
因為直線AP經過點A(-2，0)、M(x₁，y₁)，所以-2、x₁是方程的兩個根，
所以有，
代入直線方程，得，
同理，設直線BP的方程為，聯立方程有，
代入消元得到，
因為直線BP經過點B(2，0)、N(x₂，y₂)，所以2、x₂是方程的兩個根，
所以有，
代入得到，
若，則，此時，，
顯然M、Q、N三點在直線x=1上，即直線MN經過定點Q(1，0)；
若x₁≠1，則t²≠12，x₂≠1，所以有
，
所以，所以M、N、Q三點共線，
即直線MN經過定點Q(1，0)；
綜上所述，直線MN經過定點Q(1，0)。