Question

【題目】如圖所示，四棱錐中， 平面， ， ， ， 為線段上一點， ， 為線段上一點， .

（1）證明： 平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2) .

【解析】試題分析：證明線面平行有兩種思路：第一尋求線線平行，利用線面平行的判定定理.第二尋求面面平行，進而說明線面平行；本題借助平行四邊形可以得到線線平行，進而證明線面平行；第二步求線面角，建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，借助空間向量，求法向量，利用公式求角.

試題解析：

（Ⅰ）證明：由已知得，如圖，取上靠近的四等分點，連接，

由知， ．

又，故平行且等于，四邊形為平行四邊形，于是．

因為平面， 平面，所以平面．

（Ⅱ）解：如圖，取的中點，連接．

由得，從而，且．

以為坐標原點， 的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．

由題意知， ， ， ， ， ，

， ， ．

設為平面的一個法向量，

則即

可取．于是，

所以直線與平面所成角的正弦值為．