Question

已知x，y滿足條件：

7x-5y-23≤0 x+7y-11≤0 4x+y+10≥0

，M（2，1），P（x，y），求：
（1）z=x-2y的最大值；
（2）z=x+7y的最大值；
（3）x²+y²的最大值；
（4）

2y+14

x+4

的取值范圍；
（5）z=|x+2y+20|的最小值；
（6）|

OP

|cos∠MOP的最小值．

Answer 1

考點：簡單線性規劃的應用

專題：計算題,作圖題,不等式的解法及應用

分析：由題意作出平面區域，
（1）化z=x-2y為y=

1

2

x-

z

2

，-

z

2

是y=

1

2

x-

z

2

的截距，從而解得；
（2）z=x+7y與x+7y-11=0平行，故z=x+7y的最大值為11；
（3）x²+y²的幾何意義是陰影內的點到原點的距離的平方，從而求解；
（4）

2y+14

x+4

=2

y+7

x+4

的幾何意義是陰影內的點與（-4，-7）連線的直線的斜率的2倍，從而求解；
（5）z=|x+2y+20|的幾何意義是陰影內的點到直線x+2y+20=0的距離的

5

倍；從而求解；
（6）

OM

=（2，1）；

OP

=（x，y）；|

OP

|cos∠MOP=

OM • OP

| OM |

=

1

5

（2x+y）；從而求解．

解答： 解：由題意作出平面區域，
（1）化z=x-2y為y=

1

2

x-

z

2

，-

z

2

是y=

1

2

x-

z

2

的截距，
故由

4x+y+10=0 7x-5y-23=0

解得，
x=-1，y=-6；
此時z=x-2y取得最大值-1+12=11；
（2）z=x+7y與x+7y-11=0平行，
故z=x+7y的最大值為11；
（3）x²+y²的幾何意義是陰影內的點到原點的距離的平方，
故其最大值為（-1）²+（-6）²=37；
（4）

2y+14

x+4

=2

y+7

x+4

的幾何意義是陰影內的點與（-4，-7）連線的直線的斜率的2倍；

-6+7

-1+4

≤

y+7

x+4

≤

2+7

-3+4

；
即

1

3

≤

y+7

x+4

≤9，
故

2y+14

x+4

的取值范圍為[

2

3

，18]；
（5）z=|x+2y+20|的幾何意義是陰影內的點到直線x+2y+20=0的距離的

5

倍；
由圖象可得，陰影內的點到直線x+2y+20=0的最小距離為
d=

|-1-12+20|

5

=

7

5

；
故z=|x+2y+20|的最小值為7；
（6）

OM

=（2，1）；

OP

=（x，y）；
|

OP

|cos∠MOP=

OM • OP

| OM |

=

1

5

（2x+y）；
則當x=-1，y=-6時有最小值，
|

OP

|cos∠MOP的最小值為

1

5

（-2-6）=-

8 5

5

．

點評：本題考查了線性規劃的綜合應用，屬于中檔題．