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對任意非零向量a、b,求證:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.

證明：分三種情況考慮.

    (1)當a、b共線且方向相同時,|a|-|b|＜|a+b|=|a|+|b|,|a|-|b|=|a-b|＜|a|+|b|.

    (2)當a、b共線且方向相反時,∵a-b=a+(-b),a+b=a-(-b),利用(1)的結論有||a|-|b||＜|a+b|＜|a|+|b|,|a|-|b|＜|a-b|=|a|+|b|.

    (3)當a、b不共線時,設=a,=b,作=+=a+b,=-=a-b,利用三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊,得||a|-|b||＜|a±b|＜|a|+|b|.

綜上得證.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

對任意非零向量a、b，求證：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|．

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科目：高中數學 來源： 題型：

下面有5個命題：
①單位向量的模都相等．
②長度不等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量．
③若
a
與
b
滿足|
a
|＞|
b
|且
a
與
b
同向，則
a
＞
b
．
④兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同．
⑤對任意非零向量
a
，
b
必有|
a
+
b
|≤|
a
|+|
b
|．
其中正確的命題序號是（　�。�
A、①③⑤B、④⑤
C、①④⑤D、②④

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

下面有5個命題：
①單位向量的模都相等．
②長度不等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量．
③若
a
與
b
滿足|
a
|＞|
b
|且
a
與
b
同向，則
a
＞
b
．
④兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同．
⑤對任意非零向量
a
，
b
必有|
a
+
b
|≤|
a
|+|
b
|．
其中正確的命題序號是（　�。�
A．①③⑤B．④⑤C．①④⑤D．②④

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

下面有5個命題：
①單位向量的模都相等．
②長度不等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量．
③若
a
與
b
滿足|
a
|＞|
b
|且
a
與
b
同向，則
a
＞
b
．
④兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同．
⑤對任意非零向量
a
，
b
必有|
a
+
b
|≤|
a
|+|
b
|．
其中正確的命題序號是（　　）
A．①③⑤B．④⑤C．①④⑤D．②④

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