Question

（文）（1）已知函數f（x）=x²+mx+3，當x∈[-2，2]時，f（x）≥m恒成立，求實數m的取值范圍．
（2）已知函數f（x）=x²+mx+3，當至少有一個x∈[-2，2]時，使f（x）≥m成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當x∈[-2，2]時，f（x）≥m恒成立等價于f（x）_min≥m，按對稱軸x=與區間的位置關系分情況討論即可求得最小值；
（2）至少有一個x∈[-2，2]時，使f（x）≥m成立等價于f（x）_max≥m，按及兩種情況討論即可求得最大值；
解答：解：（1）設f（x）在[-2，2]上的最小值為g（m），
則滿足g（m）≥m的m即為所求．
配方得．
①當，即-4≤m≤4時，，
由，解得-6≤m≤2，
所以-4≤m≤2．
②當，即m≤-4時，g（m）=f（2）=7+2m，
由7+2m≥m，解得m≥-7，
所以-7≤m≤-4．
③當，即m≥4時，g（m）=f（-2）=7-2m，
由7-2m≥m，解得，此與m≥4矛盾，
故此種情況不存在．
綜上所述，得-7≤m≤2．
（2）設f（x）在[-2，2]上的最大值為h（m），
則滿足h（m）≥m的m即為所求．
配方得．
①當，即m≥0時，h（m）=f（2）=7+2m，
由7+2m≥m，解得m≥-7，所以m≥0．
②當，即m＜0時，h（m）=f（-2）=7-2m，
由7-2m≥m，解得，所以m＜0．
綜上所述，m的取值范圍為R．
點評：本題考查不等式恒成立問題及二次函數在給定閉區間上的最值問題，恒成立問題往往轉化為函數最值解決，二次函數在閉區間上的最值要利用數形結合思想、分類討論思想解決．