Question

（文）（1）已知函數(shù)f（x）=x²+mx+3，當x∈[-2，2]時，f（x）≥m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
（2）已知函數(shù)f（x）=x²+mx+3，當至少有一個x∈[-2，2]時，使f（x）≥m成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當x∈[-2，2]時，f（x）≥m恒成立等價于f（x）_min≥m，按對稱軸x=

m

2

與區(qū)間的位置關系分情況討論即可求得最小值；
（2）至少有一個x∈[-2，2]時，使f（x）≥m成立等價于f（x）_max≥m，按-

m

2

≤0及-

m

2

＞0兩種情況討論即可求得最大值；

解答：解：（1）設f（x）在[-2，2]上的最小值為g（m），
則滿足g（m）≥m的m即為所求．
配方得f(x)=(x+

m

2

)2+3-

m2

4

，(|x|≤2)．
①當-2≤-

m

2

≤2，即-4≤m≤4時，g(m)=3-

m2

4

，
由3-

m2

4

≥m，解得-6≤m≤2，
所以-4≤m≤2．
②當-

m

2

≥2，即m≤-4時，g（m）=f（2）=7+2m，
由7+2m≥m，解得m≥-7，
所以-7≤m≤-4．
③當-

m

2

≤-2，即m≥4時，g（m）=f（-2）=7-2m，
由7-2m≥m，解得m≤

7

3

，此與m≥4矛盾，
故此種情況不存在．
綜上所述，得-7≤m≤2．
（2）設f（x）在[-2，2]上的最大值為h（m），
則滿足h（m）≥m的m即為所求．
配方得f(x)=(x+

m

2

)2+3-

m2

4

，(|x|≤2)．
①當-

m

2

≤0，即m≥0時，h（m）=f（2）=7+2m，
由7+2m≥m，解得m≥-7，所以m≥0．
②當-

m

2

＞0，即m＜0時，h（m）=f（-2）=7-2m，
由7-2m≥m，解得m≤

7

3

，所以m＜0．
綜上所述，m的取值范圍為R．

點評：本題考查不等式恒成立問題及二次函數(shù)在給定閉區(qū)間上的最值問題，恒成立問題往往轉化為函數(shù)最值解決，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值要利用數(shù)形結合思想、分類討論思想解決．