Question

已知函數f(x)＝x²＋4ax＋2a＋6.
(1)若函數f(x)的值域為[0，＋∞)，求a的值；
(2)若函數f(x)的函數值均為非負數，求g(a)＝2－a|a＋3|的值域．

Answer 1

(1) 或.(2)g (a)的值域為.

解析試題分析：(1)函數f(x)＝x²＋4ax＋2a＋6的值域為[0，＋∞)，意即這個二次函數的最小值為0，∴Δ＝0，
由此便可得a的值.
（2）函數f(x)＝x²＋4ax＋2a＋6的值均為非負數，說明這個二次函數的圖象的頂點在x軸上或x軸的上方，∴Δ≤0, 由此可求出a的取值范圍，從而求出g(a)＝2－a|a＋3|的值域.
試題解析：(1)∵函數的值域為[0，＋∞)，
∴Δ＝16a²－4(2a＋6)＝0, ∴2a²－a－3＝0, ∴或..
(2)∵對一切x∈R函數值均為非負，∴Δ＝8 (2a²－a －3)≤0, ∴－1≤a≤，∴a＋3＞0，
∴g(a)＝2－a|a＋3|＝－a²－3a＋2＝－.
∵二次函數g (a)在上單調遞減，
∴，即－≤g(a)≤4，∴g (a)的值域為.
考點：二次函數.