Question

已知定義在R上的函數f（x）是周期為3的奇函數，f（

3

2

）=0，當x∈（0，

3

2

）時，f（x）=sinπx，則函數f（x）在區間[0，5]上的零點個數為（　　）

A．9

B．8

C．7

D．6

Answer 1

分析：要求方程f（x）=0在區間[0，6]上的解的個數，根據函數f（x）是定義域為R的周期為3的奇函數，且當x∈（0，

3

2

）時f（x）=sinπx，我們不難得到一個周期函數零點的個數，根據周期性進行分析不難得到結論．

解答：解：∵當x∈（0，

3

2

）時，f（x）=sinπx，令f（x）=0，則sinπx=0，解得x=1．
又∵函數f（x）是定義域為R的奇函數，∴在區間∈[-

3

2

，

3

2

]上，
f（-1）=f（1）=f（

3

2

）=f（-

3

2

）=0，f（0）=0，
∵函數f（x）是周期為3的周期函數，
則方程f（x）=0在區間[0，5]上的解有0，1，

3

2

，2，3，4，

9

2

，5，共計8個，
故選B．

點評：本題主要考查奇函數的定義和性質，函數的周期性，若奇函數經過原點，則必有f（0）=0，這個關系式大大簡化了解題過程，要注意在解題中使用．如果本題所給區間為開區間，則答案為7個，故要注意對端點的分析，屬于中檔題．